Løsning til “Logikerne i kulten”
October 10th 2006 07:18 am
Ja, enten er jeg løbet tør for læsere, eller var gåden svær, for der kom ingen løsningsforslag. Så I må hellere få løsningen:
—-
Antag først, at der kun var een, der havde en grøn firkant. Oplysningen “der er nogen, der har en grøn firkant” fylder ham med gru og rædsel, da han kun kan se folk med blå firkanter. Derfor konkluderer han, at han må have en grøn firkant, og hopper derfor i vulkanen efter 1 dag.
Hvis der nu var TO, der havde en grøn firkant, tænker de begge: “jeg kan se een person med en grøn firkant. Hvis jeg har en blå firkant, kan den anden person med den grønne firkant ikke se nogen med grønne firkanter, så han vil hoppe i vulkanen i nat.” Efter den første nat er der dog ingen, der er hoppet i vulkanen, hvilket får begge til at tænke “åh nej! det må betyde, at han kunne se een med grøn firkant, og det må være mig!”. Dvs at de begge to hopper i vulkanen efter 2 dage.
Hvis der var TRE, udspiller der sig et lignende scenario. Hver af de tre kan se to med grønne firkanter, og tænker, at han selv har en blå firkant, vil de to med grønne firkanter opføre sig som ovenfor beskrevet. Da de ikke er hoppet i vulkanen efter to dage, må han konkludere, at han også selv ahr en grøn firkant. Efter 3 dage hopper de alle tre i vulkanen.
Pr. induktion kan vi altså konkludere, at alle 20 med grønne firkanter hopper i vulkanen efter 20 dage.
Bemærk, at uden den for alle indlysende oplysning “der er jo nogen med en grøn firkant” ville der ikke være sket en skid. Skægt, ikk?
Kimporator responded on 10 Oct 2006 at 06:45 #
For det første synes jeg ikke du skulle have bragt løsningen så hurtigt. Det er for svært at over se den, og jeg elsker hovedbrud.
For det andet bør man understrege at alle bruger deres logiske sans på denne overvejelse mindst en gang i døgnet for at opgaven er helt vandtæt. (Langt fra alle logikere er ordensmennesker, efter nogle dage ville de måske ikke gide holde regnskab.) Det ville til gengæld være en klar hjælp.
Men ok, dette er praktiske indvendinger.Opgaven har en anden og vigtigere logisk brist. Den kan folk jo så evt. tygge lidt på. Skriver den lige ind i min blog til offentliggørelse om en uge.
Morten Sørensen responded on 10 Oct 2006 at 09:35 #
Ja, det var måske lige tidlig nok; jeg havde vist “skrevet sidst på ugen”.
Jeg vil lige tænke over den logiske brist, som du mener, der er.
Troels Munk responded on 11 Oct 2006 at 05:45 #
Der er ikke nogen logisk brist så vidt jeg kan se. Til gengæld er gåden selvreferentiel i linje med Gödels ufuldstændighedsteorem.
Kimporator responded on 16 Oct 2006 at 10:01 #
På almindelig dansk vil jeg kalde det ulogisk hvis kan ikke ud fra det oplyste kan konkludere det hævdede, Gødel eller anden hokus-pokus 😉
Annie responded on 16 Oct 2006 at 11:11 #
Arj…hvorfor hopper de ikke allesammen i vulkanen? Dem med de blå firkanter kan jo også se dem med de grønne firkanter og: “Da de ikke er hoppet i vulkanen efter to dage, må han konkludere, at han også selv har en grøn firkant. Efter 3 dage hopper de alle tre/fire/50 i vulkanen.”…..?
Kimporator responded on 16 Oct 2006 at 11:21 #
Hæhæ, godt spørgsmål. Min konklusion er da også at der intet sker. Husk på at de alle drager logisk korrekte konklusioner. Hvis de drog den konklusion at de som blå skulle hoppe i, ville den ikke være logisk korrekt, så det kan de ikke. Men da de ikke har en måde at kende deres egen farve på andet end ved spekulation, kan der ikke være forskel på hvad en blå og en grøn når frem til. De kan altså ikke nå frem til deres farve med nogen sikkerhed. Ergo hopper ingen i.
Det var jo det nemme modbevis..mit var faktisk mere omstændeligt og derfor dårligere .
Kimpo responded on 16 Oct 2006 at 11:26 #
Ps, når jeg tænker over det, er det faktisk ikke helt korrekt, Annie. Kan du se hvor? Det var ellers besnærende.
Annie responded on 17 Oct 2006 at 05:29 #
Jeg er ikke opdigtet, selvom det ellers kunne have været sjovt….at prøve…at være…?
Men jeg skal sørme nok vogte min dyd, Laila ;o)
Glæder mig til at læse den lange, omstændelige, logiske forklaring på gåden om de blå og de grønne alligevel, for jeg kan ikke umiddelbart se hvor “alle (eller ingen) hopper i vulkanen”-teorien halter…
Laila responded on 17 Oct 2006 at 10:35 #
Åh, prøver femi-Kimpo nu at score igen! Annie, hvis du ikke er blevet opdigtet af Kimpo, så lyt til et godt råd: hold dig væk fra ham. Han prøver at lægge an på alle kvinder på nettet. Hvor er det patetisk.
Irene responded on 18 Oct 2006 at 02:48 #
Sig mig, hvordan ser man farver i et sort hul i jorden?
Troels Munk" responded on 18 Oct 2006 at 07:46 #
Arj…hvorfor hopper de ikke allesammen i vulkanen? Dem med de blå firkanter kan jo også se dem med de grønne firkanter og: “Da de ikke er hoppet i vulkanen efter to dage, må han konkludere, at han også selv har en grøn firkant. Efter 3 dage hopper de alle tre/fire/50 i vulkanen.”…..?
Troels Munk responded on 18 Oct 2006 at 07:58 #
Sorry, laptop-musetastet glippede. Jeg var igang med et citat:
“Arj…hvorfor hopper de ikke allesammen i vulkanen? Dem med de blå firkanter kan jo også se dem med de grønne firkanter og: “Da de ikke er hoppet i vulkanen efter to dage, må han konkludere, at han også selv har en grøn firkant. Efter 3 dage hopper de alle tre/fire/50 i vulkanen.”…..?”
Come on. Den store forskel på dem med de blå og de grønne firkanter er jo, at de blå altid kan se een mere grøn end de grønne kan, og det er lige netop nok. Hvis der f.eks. kun var een med en grøn firkant, og de fik at vide, at der var mindst een med grøn firkant, ville de blå selvfølgelig ikke hoppe nogen steder. Det ville den grønne til gengæld.
Gåden hænger på, at grøn1 ikke kan udelukke, at grøn2 ikke kan udelukke, at grøn3 ikke kan udelukke, at…., at grøn20 ikke kan udelukke, at der slet ikke er nogle grønne — medmindre de altså alle i samlet flok får at vide, at der er mindst een grøn.
Kimporators argument om, at man altid kun kan spekulere sig til farven, er direkte sludder. Hvis man igen ser på tilfældet med kun een grøn, er det indlysende, at den grønne kan konkludere farven på sin egen firkant, når oplysningen kommer. Med to grønne konkluderer de begge, at der er enten een eller to grønne – og samtidigt konkluderer de begge, at hvis der kun er een, vil denne ene kunne konkludere det selv og dermed hoppe i vulkanen. Da dette ikke sker (de afventer begge den anden) må de begge slutte, at der er to grønne, og dermed hoppe i begge to aftenen efter.
De blå har intet problem i dette, netop fordi de to grønne hopper i vulkanen på andendagen i dette tilfælde. Så kan de blå konkludere, at der ikke er flere grønne, og at de dermed er blå. HVIS de grønne ikke var hoppet i på andendagen, var alle de blå hoppet i på tredjedagen, men det sker ikke, da alle tænker logisk og følger reglerne.
Ved at udvide tankegangen til 20 afventer alle, både blå og grønne, altså om der sker noget eller ej. Da de blå kan se 20 grønne, forventer de ikke, at der sker noget før efer 20 dage. De grønne forventer til gengæld, at der sker noget efter 19 dage. Da der IKKE sker noget efter 19 dage, konkluderer alle de grønne altså, at de er grønne, mens de blå ikke har konkluderet noget endnu. På dag 20 er alle de grønne væk, og de blå konkluderer, at de er blå.
De hopper så i vulkanen på dag 21 🙂 Så løsningen er faktisk ikke komplet.
Men sker noget – DET gør der altså!
Troels Munk responded on 18 Oct 2006 at 08:04 #
Nårh nej, det er kun de grønne, der forpligtes til at hoppe i. Så løsningen er god nok.
Kimporator responded on 18 Oct 2006 at 08:19 #
Jaja, Troels, det opdagede jeg jo hurtigt.
Troels Munk responded on 19 Oct 2006 at 07:38 #
Jeg var vist lidt hurtig med det selvreferentielle, Morten. Der er ingen intern selv-inkonsistens i gåden. Min opfattelse var, at oplysningen på samme tid ikke tilføjede nogen ny information OG gjorde en logisk forskel. Men oplysningen giver en reel ny information, da den tilføjer en observatørs observation til offentlig høring. Da hele gåden hænger på, hvad andre forventer, at andre forventer, at andre… osv, er en offentlig observation en stor ny oplysning, selvom alle “ved” det i forvejen.
Morten Sørensen responded on 19 Oct 2006 at 08:37 #
=> Ja gåden er jo lidt spidsfindig. Men alle kommentarerne har fået mig til at tænke gåden og dens løsning igennem flere gange, og jeg tror nu, at den holder.
Kimporator responded on 19 Oct 2006 at 09:52 #
Jeg synes jeg er tilstrækkelig konkret, efter den intuitive indledning :o)
Troels Munk responded on 19 Oct 2006 at 12:18 #
=> og det gør jeg også 🙂 Kimporators argumenter er en slags intuitive “jamen det kan jo ikke passe”-argumenter og ikke logiskt argumenterede.
Morten Sørensen responded on 19 Oct 2006 at 12:20 #
=> Troels
“Til gengæld er gåden selvreferentiel i linje med Gödels ufuldstændighedsteorem.”
Kan du uddybe det lidt. Jeg kan ikke lige se det.
Kimporator responded on 19 Oct 2006 at 12:26 #
Jeg har givet mit lange pip på http://www.kimporator.dk/?p=30
bjlindhard responded on 20 Oct 2006 at 01:03 #
De med grønne firkanter kan ikke regne ud, at de har en grøn firkant hvis ikke de ved hvor mange grønne firkanter, der er i alt.
Ine responded on 20 Oct 2006 at 01:29 #
Kimpo; er vi enige så langt (det er lidt svært for mig at se præcis hvad i beviset du anfægter, så jeg vil starte fra bunden i mit argument):
a) Alle 50 ved at der enten er 19, 20 eller 21 grønne!
b) Særligt ved en blå person at der er enten 20 eller 21 grønne og en grøn person ved at der er 19 eller 20 grønne.
[En blå person kan se 20 grønne og så ved han dermed at der kan være 20 eller 21 grønne, tilsvarende kan en grøn person se 19 grønne og han ved derved at der kan være 19 eller 20 grønne]
c) Hvis en grøn person opdager at der er 20 grønne tilstede vil han hoppe ved førstkommende midnat efter opdagelsen
[Hvis han ved der er 20 grønne og han kun kan se 19 må han selv være den sidste]
Morten Sørensen responded on 20 Oct 2006 at 05:07 #
=> Kimpo
Lad os prøve at ændre gåden til, at der er 3 med grønne firkanter og 47 med blå firkanter. Din påstand er så, at det ikke gør en forskel, om kultlederen fortæller, at der jo er nogen med grønne firkanter, da alle alligevel kan se mindst 2 grønne firkanter.
Men hvis ikke kultlederen kommer med den oplysning, er der ingen, der hopper i vulkanen ved midnat den 3. dag. Hvad skulle få dem til det?
Nu vil du måske sige, at alle 3 vil hoppe i, da ingen er hoppet i vulkanen dag 2. Men den slutning bygger jo på, at ingen er hoppet i første dag, som igen bygger på, at kultlederen har fortalt, at der er jo nogen, der har grønne firkanter.
Nu kan du jo så prøve at ændre gåden til 4 personer med grønne firkanter, og 5 personer og 6…….
Hvis du er uenig i min argumentation, så må du jo prøve at argumentere for, hvorfor der skulle hoppe nogen i vulkanen 3. dag, uden at kultlederen har fortalt, at der er nogen med grønne firkanter.
bjlindhard responded on 20 Oct 2006 at 06:37 #
Hvis der kun er en med grøn firkant ved vedkommende det. Hvis der er mere end en med grøn firkant sker der intet. “Nogen” er ikke eksakt nok til selvidentificering.
Troels Munk responded on 20 Oct 2006 at 06:43 #
30=>Der er efterhånden blevet argumenteret grundigt fra flere indfaldsvinkler og fra flere personer (se denne blog og kimporators), at der sker noget ved mere end een grøn.Jeg ved ikke, hvad du ikke synes er “eksakt”. Der er ingen tvivl om, at mortens originale løsning holder vand.
bjlindhard responded on 20 Oct 2006 at 07:04 #
Der er ikke ført bevis. De med blå firkanter opfører sig som de med grønne firkanter, og omvendt, da ingen ved hvor mange, der er af hver. Det eneste kultmedlemmerne kan er, at beskrive et interval af det mulige antal.
Derfor sker der intet hvis der er mere end en.
Troels Munk responded on 20 Oct 2006 at 07:15 #
32. de blå opfører sig anderledes end de grønne, fordi de blå ser een mere grøn end de grønne gør. Jeg er efterhånden lidt tilbageholdende med at kaste mig ud i endnu en forklaring af noget, som jeg selv mener at have forklaret rimeligt godt efterhånden. Læs de tidligere indlæg. 🙂
bjlindhard responded on 20 Oct 2006 at 07:27 #
De blå kan se en mere end de grønne kan, men derfor opfører de sig ikke anderledes, fordi antallet de ser ikke fortæller dem hvilken farve de selv har. Adfærden er uafhængig af om de ser 19 eller 20. De grønne ved ikke hvor mange de blå ser og de blå ved ikke hvor mange de grønne ser, derfor er de i samme tankebane.
Altså, det sete antal har ikke indflydelse på adfærden, da hverken de grønne eller de blå kan udlede egen farve af det sete, netop fordi de ikke kender det eksakte antal af hver farve.
bjlindhard responded on 20 Oct 2006 at 08:12 #
Mortens løsning holder ikke vand når der er flere end to grønne. Det er rigtigt, at nr to grøn kan tænke som beskrevet fordi han kun ser en grøn, som også kun ser en grøn. Men er der flere holder den ikke.
bjlindhard responded on 20 Oct 2006 at 08:22 #
Vi ved, at der er 20 grønne. Både grønne og blå kan se masser af grønne fra dag et. Ingen foretager sig noget fordi de alle er i god tro.
Troels Munk responded on 20 Oct 2006 at 08:36 #
ååååh, vil du ikke nok læse de andre kommentarer? Dine indvendinger er blevet besvaret masser af gange…
bjlindhard responded on 20 Oct 2006 at 09:52 #
Der er ikke blevet argumenteret længere end til to grønne med logisk konklusion. Der mangler simpelthen en logisk forklaring på hvordan den tredie eller fjerde kommer frem til konklusionen, at han er grøn. Der argumenteres kun med videreførsel af induktionen fra to til tre osv.
Jeg mener ikke argumentationen holder. Hvordan regner en fjerde grøn ud, at han er grøn? Begynd fra dag et.
bjlindhard responded on 20 Oct 2006 at 10:10 #
Okay, den fjerde venter på de tre springer før det går op for ham, at han er grøn og de blå venter på, at de fire springer før de opdager de er blå.
Klokken er ikke 23:59 endnu. Jeg holder mig vågen nu.
Troels Munk responded on 20 Oct 2006 at 10:53 #
Kimpo, du spørger, hvordan en oplysning, som alle har i forvejen, kan gøre en forskel. Se på det tilfælde, hvor der kun er to grønne. Allerede her er oplysningen “der er mindst een grøn” noget, som begge ved i forvejen. Alligevel gør det en forskel, fordi NU VED DE BEGGE, AT DEN ANDEN OGSÅ VED DET! Det vidste de IKKE før…så det ER en ny oplysning, de får – indirekte.
Med tre grønne er det lidt mere omstændeligt, men her ved de pludselig alle tre, at de andre to grønne begge ved det om hinanden, at de nu ved det. Altså: at grøn 1 ved, at grøn2 ved, at grøn3 ved det. (uanset nummereringen…) det er også en ny oplysning.
Giver det mening? Så tag induktionsskridtene op til 20… 🙂
Ine responded on 20 Oct 2006 at 12:02 #
Der er jo en information i at de ikke hopper efter dag 19 og det er netop den information som ændres.
På dag 2 er informationsmængen blandt andet “mere end 1 grøn”, eftersom ingen er hoppet. Det er også ret oplagt, idet alle vil kunne se mere end 18 grønne
På dag 3 er informationsmændgen “mere end 2 grønne”, idet at hvis der kun var to ville de være hoppet da de ville have opdaget det.
osv.
På dag 20 er informationsmængden “mere end 19 grønne” – ergo må alle de som kun ser 19 grønne også være grønne og dermed hopper de.
Så der kommer faktisk information til hver dag, den er bare ikke ny i forhold til den initiale infomation før dag 20.
Og ja, ganske rigtigt så ved alle fra dag 1 at de ikke kan forvente ny information før dag 20, men det er ikke ensbetydende med at der aldrig kommer ny infomation.
Så jeg vil tilslutte mig MS og TM.
Ine responded on 20 Oct 2006 at 12:05 #
Okay, ser lige I også har været der på Kimpos side – så kan man lære at gentage hvad andre har sagt.
Men hey, at vi mener det samme uafhængigt af hinanden må tale lidt for rigtigheden af argumentationen 😉
Kimporator responded on 20 Oct 2006 at 12:18 #
Det er ikke konkret godtgjort at informationsmængden ændrer sig fra dag 1 til dag 2. Det gør den netop ikke, idet alle ved at alle ved at ingen hopper i.
Ine responded on 20 Oct 2006 at 12:29 #
Nej, jeg påstod heller ikke at informationsmængden var ændret fra dag 1 til dag 2, men først at der er ny information :
Informationsmængden på dag 2 er at ingen er hoppet i, ergo er der mere end 1 grøn. Mængden {der er mere end en grøn} er indeholdt i det alle allerede vidste på dag 1.
Det er jo netop først interessant når vi når dag 20, idet alle så har informationsmængden {der er mere end 19 grønne}. Den information er ikke ny for de blå – de ved jo godt at der er 20, mens de grønne lige pludselig nu ved at der er mere end 19 grønne, ergo må de selv være grønne.
(Og faktisk først dagen efter får de blå ny infomation, idet 20 grønne er forsvundet ved de at der er netop 30 blå.)
De blå og de grønne har hele vejen igennem ikke samme information (eller jo, det har de på 21. dagen, men eftersom de grønne er døde der….)
Kimporator responded on 20 Oct 2006 at 12:39 #
“Det er jo netop først interessant når vi når dag 20, idet alle så har informationsmængden {der er mere end 19 grønne}”
Næe, kun hvis vi acceptere at der ville ske noget dag 19, hvis der var 19 grønne. Det er denne beviskæde jeg anfægter.
Kimporator responded on 21 Oct 2006 at 04:57 #
Jeg må konstatere at induktionsbeviset synes at holde vand (hvor det kontraintuitiv konklusionen end synes). Jeg troede en overgang på muligheden af et paradoks. Et induktionsbevis med forudsætninger, der viste sig ikke at holde vand for tilstrækkeligt store N. Det synes ikke at være tilfældet.
Troels Munk responded on 21 Oct 2006 at 07:12 #
Jeg citerer mit svar fra Kimporators blog:
CITAT BEGYND
Kimpo skriver: “Men når der er mindst 3 grønne ville de grønne se mindst 2 andre og vide at de grønne så mindst en anden grøn. Alle ville vide at alle vidste at der var mindst en grøn. Alle ville vide at ingen ville ændre tankemønster efter “oplysningen”. “Oplysningen” er dermed ikke-informativ.”
I denne situation ved hver grøn ganske rigtigt, at de andre to grønne ser mindst een anden grøn. Altså een eller to grønne.
Hvis de andre ser to grønne, må observatøren selv være grøn. På hovedet i vulkanen.
Hvis de andre kun ser een grøn, ville de forvente, at denne ene grønne (da de håber på, at han ikke kan se nogen) er væk dagen efter. Eftersom ham, der kigger kan se to grønne, ved han godt, at ingen af dem hopper i første dag – da de ikke har kunnet konkludere, om de selv var grønne. Til gengæld kan begge konkludere, at de er grønne, når de ser hinanden dagen efter. Hvis de kun kan se een anden grøn, bør de begge hoppe i på dag 2.
Det gør de ikke, derfor er muligheden “de andre grønne ser kun een grøn” udelukket. Derfor hopper alle tre i på dag 3.
CITAT SLUT
For at uddybe denne tankegang kan du nu forestille dig, at du istedet for at være en udenforstående til gåden SELV var een af FIRE grønne. Du ville se PRÆCIST det samme og tænke PRÆCIST det samme. Men det ville de andre tre grønne også, og derfor afventer de alle sammen, at de andre tre hopper i på dag 3. Da dette IKKE sker, konkluderer alle fire, at de selv er grønne. De hopper alle fire i på dag fire.
Tænk nu, at du istedet for at være bjlindhard er een af nu FEM grønne. Du ville igen tænke det samme som ovenstående og forvente, at de fire andre hopper i på fjerdedagen. Da de ikke gør det, konkluderer du, at du selv er grøn. Det gør de andre fire grønne også samtidigt, og derfor hopper alle fem i på dag fem.
Skal jeg fortsætte hele vejen op til 19, eller ser du systemet?
Louise responded on 21 Oct 2006 at 10:35 #
Kan vi ikke aftale fra nu af, at man skal argumentere for sine overbevisninger, og at “jeg kan ikke forestille mig, at det skulle være rigtigt, så det kan det ikke være!” ikke er et argument?
Mette Mokken responded on 24 Oct 2006 at 06:48 #
En lukket hule med en aktiv vulkan i midten vil hurtigt forårsage iltmangel – så man må konkludere at alle er kradset af inden førstkommende midnat.
bjlindhard responded on 26 Oct 2006 at 05:50 #
Troels, du behøvede ikke, at citere. Jeg ved, at den er god nok. Måske gjorde jeg det ikke klart nok i kommentaren ovenover: “Okay, den fjerde venter på de tre springer før det går op for ham, at han er grøn og de blå venter på, at de fire springer før de opdager de er blå.”
Troels Munk responded on 26 Oct 2006 at 08:23 #
43 -> det er en meget, meget stor hule 🙂
44 -> ok, sorry. Jeg var ikke klar over, at du havde set hele induktionen til ende.
Mette Mokken responded on 26 Oct 2006 at 09:19 #
Og hvis hulen nu var Mønsted Kalkgrube, så ville osten smelte, og alle 50 ville være klistret ind i ost og ligne en kolo-enorm pizza med oliven.